Les maths dans la vie quotidienne

Idées pour un atelier mathématique en collège

Remarque : ce qui suit s’appuie volontairement sur des mathématiques de niveau collège. Pour aller plus loin vous pouvez lire : Applications des mathématiques de lycée/Capes ou Qu’est-ce que faire des mathématiques ?

I) Là où Monsieur Tout-le-monde est obligé de faire des maths

Idée : répertorier des situations où l’on rencontre des maths (voir qu’il y en a beaucoup), et profiter de l’occasion pour donner des exercices d’application simple (qui auront peut-être plus de charme parce que tirés d’une situation concrète), ou pour critiquer certaines informations. Cela fait beaucoup de petits thèmes indépendants qui peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

1) Qu’est-ce qu’on compte/mesure ?

L’idée, c’est de partir de journaux/ revues et de demander aux élèves de relever des nombres. On peut ensuite essayer de répertorier les grandeurs auxquels ces nombres se réfèrent (vitesse, prix, temps, etc), et voir leur importance pour le lecteur (par exemple : pour décrire les performances d’une voiture ou d’un ordinateur, certaines grandeurs sont plus importantes).

Idées de supports : un catalogue informatique (on peut comparer des chiffres, discuter des ordres de grandeurs, chercher la courbe décrivant l’évolution de la puissance des ordinateurs depuis 10 ans), une revue automobile (comment caractériser une performance), peut-être une revue scientifique pour collégiens. Et aussi un quotidien quelconque.

2) Les courbes et graphiques

Comme pour le sujet précédent, relever des courbes et graphiques dans la presse. Apprendre à les décrire et les commenter (critiquer éventuellement la pertinence de l’information).

3) Les formules

Donner des exemples de formules qu’on est amenés à utiliser (et du coup les faire utiliser aux élèves, qui peuvent faire des applications numériques et tracer des courbes) :

  • La distance de freinage varie comme le carré de la vitesse (on apprend ça pour passer le code)
  • Dans un emprunt à taux mensuel fixe i d’une somme S pendant n mois, la mensualité vaut : m = S \times i \times \frac{(1+i)^n} { (1+i)^n - 1}
  • Calculer le poids idéal d’une personne (j’imagine qu’on doit trouver ça sur internet)

4) Les pourcentages

Relever dans la presse des pourcentages, comprendre ce qu’ils signifient. Comparer diverses offres promotionnelles : « 1 gratuit pour 2 achetés », 30% de réduction (remarquer que la première offre demande d’en acheter 3 !!), voir que 10% puis 20% ça ne fait pas 30% de réduction.
On doit trouver des exercices intéressants dans les manuels de maths de 1ère L (puisque les pourcentages occupent un grand chapitre).

5) Les taux d’intérêt

Expliquer comment marche un taux d’intérêt, et comment une banque gagne de l’argent (en prêtant plus cher qu’elle n’emprunte). Réitérer ensuite l’opération en calculant comment les intérêts sont cumulés au bout de plusieurs années. On peut expliquer pourquoi les intérêts élevés peuvent faire qu’on ne parviendra jamais à rembourser une dette (cf certains pays pauvres).

6) Faire un plan de son appartement, calculer une distance à partir d’un plan

Idée : réaliser des mesures et construire un plan à l’échelle. A partir de là, on peut découper des meubles à l’échelle, et voir comment ceux-ci doivent être placés. (le faire pour la classe par exemple)

7) Les règles de trois

Relever des situations où celles-ci s’avèrent utiles, comme par exemple les recettes de cuisine. On peut aussi en profiter pour donner quelques exemples où le calcul mental sert (par exemple en demandant aux élèves de vérifier s’il y a une erreur dans les calculs du marchand de légumes ou le ticket de caisse du supermarché).

8) Les jeux de hasard

Ca peut être intéressant de faire découvrir (empiriquement) les notions de probabilités. L’objectif pourrait être de comprendre pourquoi aux jeux de hasard on finit toujours par perdre (on peut aborder la notion d’espérance de gain, et la loi des grands nombres).

II) Les maths qui se cachent derrière la vie quotidienne

Ici des idées de thèmes un peu plus riches mathématiquement que ceux qui précèdent. On voudrait montrer que si ce type de travail mathématique n’est pas « indispensable », il permet néanmoins de mieux comprendre le monde. Et que les maths interviennent partout.

1) Géométrie : navigation et cartographie

Les triangles apparaissent en cartographie et navigation (c’est pour cela que les Grecs se sont mis à la géométrie) avec la méthode de triangulation : pour placer un point sur une carte, on a besoin de trois autres points et des angles que l’observateur mesure entre lui et chaque couple de points. Il suffit alors de construire les triangles souhaités (grâce aux techniques vues en cours). Ces points de repère ont d’abord été sur la côte, puis dans les étoiles, et enfin les satellites (c’est le principe du GPS). On pourra remarquer que les divers instruments de navigation sont souvent des sortes de rapporteurs (sextant, astrolabe), qu’on appelle « compas » la boussole...

En pratique, en plus d’une recherche documentaire sur tout ceci et de quelques exercices d’application, on peut proposer aux élèves de réaliser un plan de la cour du collège, en plaçant précisément les arbres. Ou encore mieux de réaliser une maquette en 3D...

Au passage, s’il a été vu en classe, on peut remarquer que le théorème de Thalès permet de calculer des distances inaccessibles (calcul de la hauteur d’une pyramide, fabrication du télémètre, inventé à la Renaissance).

2) Géométrie, art et architecture

Ca ne fait pas de mal de faire remarquer que des peintres utilisent des figures géométriques (perspective, cubisme...), et que des formes particulières interviennent en architecture (la géode est faite de triangles, les chateaux d’eaux ou les centrales nucléaires en forme de paraboloide hyperbolique...). Et en musique, les sons qui paressent harmonieux respectent certains rapports mathématiques (faire l’expérience avec des cordes de longueurs différentes).

En informatique, les triangles servent pour les images de synthèse et les effets spéciaux en 3D (jeux vidéos, films d’animation) : on restitue l’idée d’une surface courbe grâce à un grand nombre de triangles, les déplacements sont calculés grâces aux transformations géométriques. Les logiciels de morphing (déformation d’image) marchent aussi en découpant une image plane en triangles qu’ils déforment et recombinent.

3) Comment compter et mesurer ?

Comment compter les feuilles d’un arbre ? A-t-on plus de cheveux sur la tête ? Combien a-t-il fallu de briques pour construire le collège ? Ce sont des exercices intéressant pour évaluer les ordres de grandeur.

A côté de cela, on peut essayer de comprendre comment on compte les truites dans un lac ? (on en capture un petit nombre, que l’on marque et qu’on relache, on en recapture de nouveau et on compte la proportion de truites marquées) Comment évaluer le nombre de participants à une manif ? De téléspectateurs pour une certaine émission ? On aborde donc le thème des sondages, dont on peut expliquer le principe (échantillon représentatif, intervalle de confiance, etc).

4) Dynamique de population (ou épidémiologie)

On peut donner aux élèves un modèle simple permettant d’étudier l’évolution d’une population (ou la propagation d’une maladie) sous forme d’une suite. A ce niveau, on peut se contenter d’expliquer d’où vient la formule (facile), demander aux élèves de faire des calculs, de tracer des courbes et de décrire cette évolution.

On pourra observer et comparer les croissances géométriques et arithmétiques à partir d’exemples simples (les grains de riz sur l’échiquier, une population de lapins), et aborder les idées de Malthus (la population augmente géométriquement, les ressources de manière arithmétique).
Une autre possibilité, c’est d’étudier un système proies-prédateurs.

5) Comment calculent les ordinateurs ?

Ca peut être l’occasion d’expliquer la numérotation en base deux, d’apprendre à effectuer des opérations directement dans cette base, et de faire des conversions en base 10.

Ce site est tenu par : Francesco Colonna Romano
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