Développements pour l’oral du Capes de maths

Puisque j’ai eu l’occasion de faire passer des oraux blancs de Capes, je me suis rendu compte que les étudiants avaient eu peu d’occasion de s’interroger sur le pourquoi des notions qu’ils vont devoir enseigner. J’ai rédigé donc un texte donnant les applications des thèmes des leçons au programme dans d’autres disciplines (physique, biologie, économie, informatique) qui peut aider les candidats à ce concours.
Par ailleurs, je propose ci-dessous quelques exercices (j’espère qu’il y en aura plus bientôt) qui feraient selon moi des bons développements pour l’épreuve orale sur dossier (et qui peuvent aussi être casés dans des leçons).

Pour moi, les critères d’un bon développement sont :

 Facile à retenir. L’énoncé doit tenir en quelques lignes, ou doit pouvoir se retrouver facilement à partir d’une idée directrice. Comme il n’y a pas beaucoup de thèmes au programme, on peut se permettre de mémoriser des développements pour chacun, ce qui évitera de devoir les chercher dans des livres le jour de l’épreuve. De plus, à partir d’un énoncé de départ concis, on peut montrer au jury qu’on sait rajouter des questions intermédiaires pour le mettre à la portée des élèves.

 Utilisation de plusieurs notions au programme (ce qui permet de caser le même développement dans plusieurs thèmes).

 Peu de risque : une fois qu’on connaît le fil directeur de la démonstration, il ne faut pas qu’il y ait trop de subtilités à retenir ou des calculs pénibles.

 Une certaine élégance formelle : des hypothèses pas trop restrictives, une conclusion suffisamment générale. Et surtout au niveau de la démonstration, les astuces sont rigoureusement interdites. La démonstration doit pouvoir s’exposer de manière progressive, en montrant que chaque étape découle nécessairement de la précédente, sans astuce.

 Un peu d’originalité : un résultat non intuitif, un énoncé sous forme d’un problème ouvert, ou un habillage qui montre une application à un domaine autre que les maths.

 Répondre à un goût personnel : éviter de présenter un exercice qu’on n’aime pas, qu’on ne trouve pas joli, élégant, etc. Sinon on ne pourra pas défendre le choix devant un jury.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d’exercices qui selon moi répondent assez bien à ces critères. La solution est volontairement absente, car je crois qu’on retient mieux et qu’on apprécie plus un exercice que l’on a résolu par soi-même. Si vous avez d’autres exercices à me proposer, c’est très volontiers.

Un peu de navigation

Sur une carte, soient un phare (P), un cap (C) et une montagne (S). On mesure depuis le bateau l’angle entre le bateau et ces points. Placer le bateau sur la carte (ou en utilisant Al-Kashi calculer la distance à ces points).

(Ceci utilise le théorème de l’angle inscrit et les lignes de niveau (MA,MB)=cste)

Découpage d’un rectangle dans un triangle

Quel est le plus grand rectangle découpable dans un triangle donné ? C’est un rectangle de coté le segment joignant les milieux de deux cotés, sa surface est la moitié de la surface totale.

La démonstration fait appel aux fonctions (lorsque le rectangle a un côté parrallèle à un côté du triangle) et aux triangles semblables. Ceci illustre un problème d’optimisation des chutes (par exemple du tissus, du papier, etc).

Toutes les droites sont-elles les droites remarquables d’un triangle donné ?

Est-ce que trois droites concourantes sont les hauteurs/ médiatrices/ médianes/ bissectrices d’un triangle ?

Un peu de génétique

Trois couples de gènes possibles : AA, AB, BB. Il y a une proportion , et individus de chacun. Les individus AB donnent naissance à 1/4 de AA ou de BB, et à 1/2 d’individus AB. Les autres se reproduisent tels quels. Quelle est la proportion de chaque caractère observée après un grand nombre de générations ?

Remarques :

 Ceci permet de vérifier que la limite d’une puissance de matrices est un projecteur.

 Il faut éventuellement améliorer l’énoncé. Dans le cas présent, il faut savoir justifier/vérifier que on a à chaque étape )

 On n’a absolument pas besoin d’utiliser les matrices pour cet exercice, il suffit de rédiger le système linéaire et utiliser les techniques de lycée sur les suites.

Le télémètre

C’est un instrument qui permet de mesurer des distances inaccessibles (par exemple la largeur d’un fleuve). Le principe est celui du théorème de Thalès ou des triangles semblables.

L’instrument est composé de deux baguettes articulées, la première étant fixée horizontalement, et la deuxième pouvant pivoter, de manière à faire varier l’angle et à viser l’extrêmité du segment à mesurer. Un fil à plomb fixé sur cette deuxième baguette permet d’obtenir un triangle rectangle (un côté est vertical, l’autre horizontal) dont on connaît angles et côtés.

Il y a ensuite un deuxième triangle rectangle imaginaire, semblable au premier, dont les côtés sont deux à deux parallèles à ce premier. Le côté horizontal est la distance inconnu à mesurer. Le côté vertical est entre le sommet du premier triangle et le sol, il peut être mesuré.

Tout ceci se verrait beaucoup mieux sur un dessin, et raccourcirait d’autant l’énoncé. Il suffit alors de montrer que les triangles sont semblables et d’appliquer ensuite la relation de proportionnalité des côtés, pour calculer la longueur inconnue.

Remarque : on peut présenter dans le même genre le calcul par Thalès de la hauteur d’une pyramide, ou du rayon de la Terre par Eratosthène.

Calcul des mensualités d’un emprunt à taux fixe

Pour acheter une maison, on emprunte pour n mois une somme S. Le taux d’intérêt mensuel vaut i. Pour rembourser ce prêt, on veut payer des mensualités constantes m. Exprimer la valeur de m en fonction de S,n et i.

On trouve :

Application pratique
S=60 000 euros, n=360 (30 ans) et
on trouve : m=322,09 euros (avec l’approximation sur le taux mensuel)

Autres applications
On veut payer au maximum 500 euros par mois pendant 30 ans. Quelle somme peut-on emprunter ? On veut emprunter 100000 euros et on peut payer 500 euros par mois, quelle va être la durée du prêt ? (cette application fait intervenir un log ou un DL pour le calcul)

Solution : Il suffit d’exprimer le terme général la suite arithmético-géométrique : et utiliser les conditions initiales : et . ( étant la somme à rembourser après mois)

Remarques :

 Un DL permet de vérifier la formule trouvée : si i tend vers 0, alors m=S/n , c’est logique.

 Il faut passer du taux d’intérêt annuel à celui mensuel. En utilisant les suites géométriques on peut montrer que :
Cependant, comme peu de monde comprendrait cette formule, dans la pratique (ie : pour les vrais calculs !!) on utilise l’approximation :
La justification de ce taux d’intéret proportionnel est qu’on considère que les intérets ne sont capitalisés qu’une fois dans l’année.
Grâce à un simple développement limité (ou à la formule du binôme) on peut montrer que les banques gagnent toujours avec cette approximation.

 La plupart des calculatrices graphiques ont la formule de calcul des mensualités en mémoire (dans la partie "calculs financiers")

 Généralisation : pour une petite somme et une courte durée, les paiements se négocient et ne sont pas faits à intervalle fixe. Par exemple, un paiement au bout d’une semaine, le deuxième cinq semaines plus tard, et enfin trois semaines. On utilise un taux d’intéret journalier fixé, et on veut des paiements de montant constant. Comment les calcule-t-on ?

 Puisqu’on parle ici d’emprunts à taux fixe, il est bon de savoir que dans la réalité on fait aussi de plus en plus des emprunts à taux et mensualités variables. Les taux peuvent varier de manière prédéterminée, pour que les emprunteurs qui savent que leur revenu va augmenter dans l’avenir paient des mensualités plus élevées à ce moment-là, ou alors on peut avoir ils sont indexés sur un taux du marché financier (Euribor ou IRPH auxquels on ajoute une marge) qui permet de profiter d’éventuelles baisses des taux. Dans tous les cas, on utilise la formule étudiée ici pour calculer les mensualités, que l’on recalcule à chaque mise à jour des taux (tous les 6-12 mois). La durée du pret reste fixée en avance.

Le Monopoly

Je suis sur qu’on peut inventer un très joli exercice (ainsi qu’un bon sujet de TPE) à partir du Monopoly.

 Expliquer pourquoi toutes les cases ne sont pas équiprobables (à cause notamment du fait qu’on a plusieurs chances de tomber sur la case prison, et donc les cases qui suivent sont aussi plus probables).
 Calculer à partir de là l’espérance de gain de divers terrains (est-elle proportionnelle à leur prix).
 En déduire des conseils de stratégie. (Par exemple, on peut remarquer qu’avoir des terrains qui se suivent n’augmente pas la probabilité de tomber dessus).


(dernière mise à jour : novembre 2008)