8 - Dérivées et primitives

En résolvant des équations différentielles (notamment les ED linéaires du premier ordre à coefficients variables, et dans la méthode de variation de la constante), nous avons eu besoin de calculer des primitives. Celles-ci permettent également de calculer des surfaces (par les intégrales).

Nous avons déjà dit que toute fonction continue admet des primitives. Cependant, on sait hélas que pour la plupart des fonctions existantes, il est impossible d’exprimer cette primitive à partir des fonctions connues, il faudrait inventer continuellement de nouvelles fonctions : par exemple, le logarithme a été inventé car on était incapable d’exprimer une primitive de la fonction x\mapsto 1/x.
Nous apprendrons ici à calculer des primitives dans les cas où cela est possible.

Ce petit chapitre calculatoire est l’occasion pour réviser une fois pour toutes les formules utiles dans toutes les disciplines. Le cours est réduit à quelques techniques, mais il est indispensable de s’entrainer sur beaucoup d’exemples, de manière à bâtir des automatismes de calcul.

Attention : ici encore moins qu’ailleurs vous ne pouvez vous contenter d’à-peu-près : une réponse "à peu près juste" est une réponse fausse ! Donc soyez précis.

Plan du cours

I) Dérivabilité et calcul de dérivées

On voit ici les théorèmes généraux donnant l’ensemble de dérivabilité d’une fonction, ainsi que les formules de dérivée qu’il faut connaitre impérativement.

II) Calcul de primitives

Les formules de dérivées utilisées à l’envers permettent de calculer des primitives. En particulier, les formules de dérivation d’un produit et d’une fonction composée donnent deux techniques fondamentales : l’intégration par parties et le changement de variable.

I) Dérivabilité et calcul de dérivée

1. Définition

  • Définition : f:I\to\mathbb{R} (ou \mathbb{C} une fonction. On dit que f est dérivable en x_0 si \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h} existe. On note f'(x_0) cette limite.
  • Déf : f est dérivable sur un intervalle I ssi f est dérivable en chaque x_0 de I

2. Dérivées des fonctions usuelles

f(x) C x^n\: (n\in\mathbb{N}) \frac{1}{x^n}=x^{-n} \sqrt{x x^r\: (r\notin\mathbb{Z) e^x \ln x
\mathcal{D}_f \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}^* [0,+\infty[ [0,+\infty[ ou ]0,+\infty[ \mathbb{R} ]0,+\infty[
\mathcal{D}'_f \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}^* ]0,+\infty[ [0,+\infty[ ou ]0,+\infty[ \mathbb{R} ]0,+\infty[
f'(x) 0 nx^{n-1} \frac{-n}{x^{n+1}} \frac{1}{2\sqrt{x}} rx^{r-1} e^x \frac{1}{x}
f(x) \cos x \sin x \tan x \text{ch } x \text{sh } x \text{th }x
\mathcal{D}_f \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}\minusset\{\frac{\pi}{2}+k\pi\} \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}
\mathcal{D}'_f \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}\minusset\{\frac{\pi}{2}+k\pi\} \mathbb{R} \mathbb{R} \mathbb{R}
f'(x) -\sin x \cos x 1+\tan^2 x =\frac{1}{\cos^2 x} \text{sh }x \text{ch } x 1-\text{th}^2 x =\frac{1}{\text{ch}^2 x}
f(x) \arccos x \arcsin x \arctan x \text{argch } x \text{argsh } x \text{argth }x
\mathcal{D}_f [-1,1] [-1,1] \mathbb{R} [1,+\infty[ \mathbb{R} ]-1,1[
\mathcal{D}'_f ]-1,1[ ]-1,1[ \mathbb{R} ]1,+\infty[ \mathbb{R} ]-1,1[
f'(x) \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \frac{1}{1-x^2}

3. Théorème généraux de dérivabilité

Ces théorèmes permettent de prouver la dérivabilité de f en la plupart des points sans avoir besoin de revenir à la définition (qu’il faudra utiliser pour les cas litigieux).

  • Théorème : si f et g deux fonctions définies et dérivables sur I, alors : f+g, f\times g, \frac{1}{g} et \frac{f}{g} sont dérivables sur sur leur ensemble de définition (c’est-à-dire I dans les 2 premiers cas, et l’ensemble des points x de I tels que g(x)\neq 0 pour les autres).
  • Théorème : si g dérivable sur I et f dérivable sur g(I), alors f\circ g est dérivable sur I
  • Autrement dit : la somme / produit / quotient / composée de de fonctions dérivables est dérivable sur son ensemble de définition SAUF lorsqu’on a des fonctions \sqrt, \arccos, \arcsin, \text{argch}. Dans ces cas, il faut vérifier que ce qui est à l’intérieur de ces fonctions ne prend pas de valeurs où ces fonctions ne sont pas dérivables (par ex : x\mapsto\sqrt{f(x)} ne sera dérivable que lorsque f(x)>0).

4. Formules de dérivées

  • Ces formules sont à connaitre parfaitement, et à savoir utiliser sans hésiter :
    (f+g)'=f'+g', (f\times g)'=f'g+g'f, \left(\frac{1}{f}\right)'=-\frac{f'}{f^2}, \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}, (g\circ f)'=f'\times g'\circ f et (f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}} (lorsque f est bijective)
  • De la dérivation des fonctions composées découlent les formules suivantes, tout aussi importantes : (f^n)'=nf'f^{n-1}, (\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}, \left(\frac{1}{f^n}\right)'=\frac{-n}{f^{n+1}}, (e^f)'=f' e^f, (\ln f)'=\frac{f'}{f}, (\arctan f)'=\frac{f'}{1+f^2}, (\cos f)'=-f' \sin f.
  • Rappel : pour une fonction avec une puissance variable, toujours se ramener à une exponentielle avant de l’étudier : f^g=e^{g\ln f}.

II) Calcul de primitives

1. Généralités

  • Déf : I un intervalle de \mathbb{R} et f: I\to\mathbb{R} une fonction. On dit que F: I\to\mathbb{R} est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'=f.
    Notation : la notation \int f ou \int f(x)\,\text{d}x désigne une primitive quelconque de f.
  • Remarques :
    • On peut dans certains cas trouver des primitives en lisant le tableau et les formules de dérivées "à l’envers", c’est-à-dire en reconnaissant la dérivée d’une fonction connue. Il faut donc connaitre parfaitement ce tableau.
      Parmi ces formules, en particulier, il faut retenir que la primitive de u' u^n est \frac{1}{n+1}u^{n+q}
    • Nous avons vu dans le chapitre 2 que toute fonction continue admet des primitives, le but de ce chapitre c’est d’être capable d’en calculer une (quand c’est possible).
  • Propriétés :
    • Si F est une primitive de f, alors toutes les autres primitives de f sont les fonctions F+c. ("2 primitives quelconques diffèrent d’une constante")
    • Si F et G sont des primitives de f et g, alors (F+G) est une primitive de (f+g) et \lambda F
est une primitive de \lambda f. (On dit que le passage à la primitive est linéaire.)
      (Attention : il n’y a pas de formules de ce genre pour le produit ou le quotient !!!)
  • Définition : Intégrale d’une fonction continue sur un segment
    a et b deux réels et f:[a,b]\to\mathbb{R} continue et F une primitive quelconque de f
    On pose \int_{a}^{b} f(t)\text{d}t=[F(t)]_a^b=F(b)-F(a) intégrale de f sur le segment [a,b]. C’est un réel qui ne dépend pas du choix de la primitive F (définie à une constante près).

2. Intégration par parties et changement de variable

  • Déf : f est de classe \mathcal{C}^1 sur I si f est dérivable sur I et f’ y est continue
  • Formule d’intégration par parties (IPP)
    si f et g de classe \mathcal{C}^1 sur I alors \int u'v=uv-\int uv'.

    Rédaction type sur un exemple : calcul de \int \lnx\, \text{d}x=\int 1\times \ln x\, \text{d}x.
    On pose \left\{\begin{array}{l}u'=1\\ v=\ln x\end{array} soit \left\{\begin{array}{l}u=x\\ v'=\frac{1}{x}\end{array}. Ce sont deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}^*_+, la formule d’IPP donne : \int 1\times \ln x\, \text{d}x=x\lnx-\int x\times \frac{1}{x}\, \text{d}x=x\ln x - x.
  • Changement de variable
    Formule : si f continue et \phi de classe \mathcal{C}^1 sur I alors : \int f(\phi(x))\,\phi'(x)\text{d}x=\int f(y)\text{d}y
    Remarque : le changement de variable à utiliser sera toujours indiqué dans l’énoncé.

    Méthode pratique :
    1. Poser x=\phi(y) et ramplacer x par y.
    2. \text{d}y=\phi'(x)\text{d}x, remplacer \text{d}x par \frac{\text{d}y}{\phi'(x)}
    3. S’il y a des bornes (intégrale) penser à les changer : si x va de a à b alors y=\phi(x) va de \phi(a) à \phi(b) : \int_{a}^{b} f(\phi(x))\,\phi'(x)\text{d}x=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(y)\text{d}y

III) Primitives de fractions rationnelles

  • Déf : une fraction rationnelle est le quotient de 2 polynômes, par ex. \frac{1}{X^2-2} ou \frac{X^2+2X+1}{X^3}

1. Calcul de I=\int_{}^{}\frac{\text{d}x}{(x-a)^k}

Si k=1, I=\ln|x-a|, sinon I=\frac{-1}{k-1}\frac{1}{(x-a)^{k-1}}

2. Calcul de \int_{}^{}\frac{\text{d}x}{x^2+bx+c} avec \Delta=b^2-4c<0

  • Méthode : Mettre x^2+bx+c sous forme canonique, puis faire un changement de variable pour obtenir \lambda(u^2+1). Cela donnera une primitive en arctangente.
  • Exemple : I=\int_{}^{}\frac{\text{d}x}{x^2+x+1}= \int_{}^{}\frac{\text{d}x}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}= \frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{\text{d}x}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2+1} et on fait le changement de variable u=\frac{2x+1}{\sqrt{3}}. On obtient I=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan u=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)

3. Calcul de \int_{}^{}\frac{\alpha x+\beta}{x^2+bx+c}\text{d}x avec \Delta=b^2-4c<0

  • Méthode : faire apparaitre la dérivée x^2+bx+c au numérateur pour obtenir une fonction du type \frac{u'}{u}.
  • Exemple : I=\int_{}^{}\frac{x-1}{x^2+x+1}\text{d}x=
\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x-2}{x^2+x+1}\text{d}x=
\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x+1}{x^2+x+1}\text{d}x-
\frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{\text{d}x}{x^2+x+1}\text{d}x. Une primitive du premier terme est : \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1|, pour le deuxième on utilise la méthode précédente.

4. Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples

  • Pour calculer une primitive de fraction rationnelle plus compliquée, il faut l’écrire comme somme d’éléments plus simples.
  • Propriété admise : toute fraction rationnelle peut s’écrire comme somme d’un polynôme et de termes de la forme \frac{1}{(X-\alpha)^k} et \frac{aX+b}{\alpha X^2+\beta X+\gamma} (avec un discriminant négatif).
  • Par exemple, \frac{X^3+2X^2}{(X-1)^2(X-2)} peut se mettre sous la forme a+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X-2}. Une telle décomposition est toujours donnée par l’énoncé, seuls restent à déterminer les coefficients a, b, c, d, ce que l’ont fait en réduisant tout au même dénominateur et en procédant par identification.
  • Pour les meilleurs élèves : il y a des astuces permettant de deviner certains coefficients plus vite :
    • On peut multiplier par X^k (ici k=0) et faire tendre X vers l’infini.
    • On peut multiplier des deux cotés par (X-2) et remplacer ensuite X par 2...
    • On peut remplacer X par des valeurs au choix (par exemple 0...)

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